由數字認識音律
對人類來說，聲音一直都是種難以描述的東西，看不見又摸不著。姑且先不論「音樂內涵」這種藝術性的主觀陳述，就僅僅是描述「音高」以及「音程」都是一件困難的事。以音高而言，直到「赫茲(Hz)」這個單位發明之後，人類對音高才有了比較客觀且精確的描述方式。比方說現代的標準音高--A49（La），它被訂在440Hz，所以每個音樂家只要把自己樂器上的La調整到440Hz，就可以確保得到與別人一致的音高。試想如果沒有Hz這個單位，我們要怎麼對別人陳述自己樂器上的La到底是多高呢？「稍微比普通女孩的聲音高一些，不是尖聲聒噪的那種女孩」、「大概是男人聲音的兩倍高又不致於刺耳」......諸如此類用語言來描述的音高當然是無效的陳述，無論措辭多麼誠懇或華麗，聽的人都難以複製出一模一樣的音高（就算聽者覺得心神領會），所以人類只能仰賴440Hz這樣的客觀描述才能得到一致的結果。
音高有Hz可用，那音程呢？我們如何描述兩個音之間的距離？
在古代，科學家/音樂家用分數來描述，例如 3/4, 4/5, 2/3等等，這是很自然的，因為音階的構成原本就是以某個基礎頻率加上其各個泛音頻率所成，而泛音頻率跟基礎音的頻率之間是倍數關係，所以各個音與音之間的距離自然很容易被寫成分數（或者說是比數、比例）。但寫做分數的問題在於，它很不直覺，很難一眼就看出彼此之間的大小與關係意義，而且計算很麻煩。因此，在19世紀有一位名叫Ellis的聰明人，提出了一個新的單位：音分值。
音分值英文寫做cent，一個cent所代表的意義是：八度音程的一千二百分之一。換句話說1200 cent就是一個八度音程。
原始的計算方式大約如下：
A * n^1200 = 2A
（意義是初始頻率乘以一個音分值的一千二百次方之後，會等於兩倍初始頻率，即，八度音）
這是一個劃時代的發明，它讓人們對音程的理解與計算都變得非常直覺。在沒有音分值的時代，計算音程關係或者研究音律，都牽涉到很複雜的計算，這是因為音階是一種比例級數，每個音高的漸次上昇都是以乘法計算，所以其研究必然牽涉高冪次的數學計算，對一般人來說並不容易。音分值的聰明之處在於它在一開始就運用log（對數）將冪次關係化為線性關係，因此原本的比例級數變成一種差和級數，使得大多數人都可以直覺理解，並且可以用簡單的加減法來計算音程。
有了音分值這個單位，說明音律就容易得多，以十二平均律為例，一個八度之內的十二個半音音程都相同，因此每一半音距離就是100 cent（1200 / 12 = 100）。其大三度為400 cent（包含四個半音），五度為700 cent（包含七個半音）。把它拿來與純律相比的話就可以看出明顯不同，純律的五度為702 cent，比平均律五度稍微寬了2 cent，就是這小小的差異衍生了古往今來的各式音律，怎麼說呢？因為音律的基本構成是五度相生，也就是以五度音程衍生十二次之後得到十二個音，但是純律五度702 cent累積12次之後，尾數卻不是零而是24（702 x 12 = 8424），尾數非零意味著最後一個音與初始的音並不相同，因而無法形成頭尾相接的循環，這多出來的24 cent就導致不和諧的狼音，古來為了消除狼音有各式各樣的嘗試，也就產生了各式各樣的音律，演變到現代成為我們用的十二平均律。
平均律的邏輯極為簡單：既然多出了24 cent必須消除，那就把它平均分配到所有的五度裡面吧，一共十二個五度，每個扣掉2 cent剛剛好。所以平均律的五度是700 cent，比純律五度少了2 cent。這是很簡潔的解決方式，聽起來也很容易理解，但必須注意的是，這樣的計算方式是在十九世紀中以後才有的，在此之前並沒有如此方便又簡明的數學工具幫助音樂家思考，一般音樂家只能以誤試法摸索，並且以不甚精確的口語描述。腦筋很好的音樂家（因為頭腦很好，他們也多身兼科學家、天文學家、數學家...等）則會留下一些旁人很難懂的數學算式。直到音分值的普及應用，一般音樂愛好者、研究者，才得以使用此工具來理解與開發新的音律。
我們今天有這些知識實在比古代音樂家幸運得多，不僅可以用自己的感官去感受音律，還可以用理性的方式去解析。我曾提過平均律發明之初因為三度和聲不乾淨而不被音樂家接受，那到底是多不乾淨呢？純律大三度的音程是386 cent，與平均律大三度400 cent相差14 cent之多，此距離對古代音樂家是僅知其然而不知所以然，他們只能說「和聲很濁，不喜歡」，今日我們不但可以說和聲不純，還能清楚說出其不純的程度，更進一步還能自己設計新的音律來規劃和聲的純淨度。這種音樂中的理性面相，其影響力不亞於音樂的感性面相，而兩者交會之處才是音樂真正的價值所在。
音高有Hz可用，那音程呢？我們如何描述兩個音之間的距離？
在古代，科學家/音樂家用分數來描述，例如 3/4, 4/5, 2/3等等，這是很自然的，因為音階的構成原本就是以某個基礎頻率加上其各個泛音頻率所成，而泛音頻率跟基礎音的頻率之間是倍數關係，所以各個音與音之間的距離自然很容易被寫成分數（或者說是比數、比例）。但寫做分數的問題在於，它很不直覺，很難一眼就看出彼此之間的大小與關係意義，而且計算很麻煩。因此，在19世紀有一位名叫Ellis的聰明人，提出了一個新的單位：音分值。
音分值英文寫做cent，一個cent所代表的意義是：八度音程的一千二百分之一。換句話說1200 cent就是一個八度音程。
原始的計算方式大約如下：
A * n^1200 = 2A
（意義是初始頻率乘以一個音分值的一千二百次方之後，會等於兩倍初始頻率，即，八度音）
這是一個劃時代的發明，它讓人們對音程的理解與計算都變得非常直覺。在沒有音分值的時代，計算音程關係或者研究音律，都牽涉到很複雜的計算，這是因為音階是一種比例級數，每個音高的漸次上昇都是以乘法計算，所以其研究必然牽涉高冪次的數學計算，對一般人來說並不容易。音分值的聰明之處在於它在一開始就運用log（對數）將冪次關係化為線性關係，因此原本的比例級數變成一種差和級數，使得大多數人都可以直覺理解，並且可以用簡單的加減法來計算音程。
有了音分值這個單位，說明音律就容易得多，以十二平均律為例，一個八度之內的十二個半音音程都相同，因此每一半音距離就是100 cent（1200 / 12 = 100）。其大三度為400 cent（包含四個半音），五度為700 cent（包含七個半音）。把它拿來與純律相比的話就可以看出明顯不同，純律的五度為702 cent，比平均律五度稍微寬了2 cent，就是這小小的差異衍生了古往今來的各式音律，怎麼說呢？因為音律的基本構成是五度相生，也就是以五度音程衍生十二次之後得到十二個音，但是純律五度702 cent累積12次之後，尾數卻不是零而是24（702 x 12 = 8424），尾數非零意味著最後一個音與初始的音並不相同，因而無法形成頭尾相接的循環，這多出來的24 cent就導致不和諧的狼音，古來為了消除狼音有各式各樣的嘗試，也就產生了各式各樣的音律，演變到現代成為我們用的十二平均律。
平均律的邏輯極為簡單：既然多出了24 cent必須消除，那就把它平均分配到所有的五度裡面吧，一共十二個五度，每個扣掉2 cent剛剛好。所以平均律的五度是700 cent，比純律五度少了2 cent。這是很簡潔的解決方式，聽起來也很容易理解，但必須注意的是，這樣的計算方式是在十九世紀中以後才有的，在此之前並沒有如此方便又簡明的數學工具幫助音樂家思考，一般音樂家只能以誤試法摸索，並且以不甚精確的口語描述。腦筋很好的音樂家（因為頭腦很好，他們也多身兼科學家、天文學家、數學家...等）則會留下一些旁人很難懂的數學算式。直到音分值的普及應用，一般音樂愛好者、研究者，才得以使用此工具來理解與開發新的音律。
我們今天有這些知識實在比古代音樂家幸運得多，不僅可以用自己的感官去感受音律，還可以用理性的方式去解析。我曾提過平均律發明之初因為三度和聲不乾淨而不被音樂家接受，那到底是多不乾淨呢？純律大三度的音程是386 cent，與平均律大三度400 cent相差14 cent之多，此距離對古代音樂家是僅知其然而不知所以然，他們只能說「和聲很濁，不喜歡」，今日我們不但可以說和聲不純，還能清楚說出其不純的程度，更進一步還能自己設計新的音律來規劃和聲的純淨度。這種音樂中的理性面相，其影響力不亞於音樂的感性面相，而兩者交會之處才是音樂真正的價值所在。