音律的基礎
在描述音程關係的時候，我們會使用一些數字諸如：三度、五度、八度。這些音樂課中常見的數字其實蘊含著深刻的道理，但音樂課上幾乎不曾提過，一方面是音樂課的重點不在此，能讀會演奏才是目的；一方面則是那背後的道理說來免不了嚴肅的長篇大論，短暫的音樂課還是留給唱歌彈琴有趣一些。但若是要真正理解調音工作到底是什麼，就必須對此稍有理解，且聽我說明音階的發展與其困境，您就能理解那些詞彙背後的意義。
由基本物理常識可知，「聲音」是物體震動擾動空氣所形成規律的波。當此波頻率高，我們就覺得此聲音很高，頻率低則反之。發出各種音高不同的聲音是動物的天性，想像一下，古人就在咿咿呀呀的發聲中，發現有某些成對的聲音聽來特別和諧。
第一個發現的是：八度音。
實際上古人沒有「幾度」的觀念，那是後來才產生的想法。不過為了方便，就先這麼措辭吧。八度的感覺大家都懂，例如一個低音Do跟一個高音Do，兩者一起彈奏時，會融合在一起不分彼此，為什麼呢？用弦的震動來理解較為容易，當一條弦震動發出Do的音，它實際上發出了不只一種頻率，而是許許多多不同的頻率綜合在一起，第一個頻率就是整條弦震動的頻率，此為基音，就是最明顯的音高。接下來，弦的一半長度也會震動，就像是把這條弦中間固定住，形成兩段分開震動的短弦，此稱泛音。頻率與弦長成反比，所以這個一半弦長的泛音頻率是基音的兩倍，且是所有泛音中最強的一個。在這個例子中，它正是高八度Do。所以把高低兩個不同的Do同時彈奏，兩者不分彼此是很自然的，因為低音Do的頻率中已經包含了高音Do。八度音聽起來和諧無比，根本就是同一個音，所以古人就把它當作是一樣的，這點很重要，是產生音階的大前提。
第二個發現的是：五度音。
剛剛提到了基音與泛音，一個音是由基音與無限多的泛音組成，最明顯的泛音是一半弦長的八度音，那次明顯的呢？就是五度音。相當於把一條弦的三分之一處固定，會產生兩個音，一個是二分之三頻率的五度（弦長為三分之二），另一個是三倍頻率的更高五度音（弦長為三分之一）。在原先的例子中，它是Sol。五度聽起來也很和諧，除了Do本身就包含Sol的頻率，還因為Do跟Sol有一個共同的泛音，而且是很低倍數（意即強度很強）的泛音，當這兩個音一起彈奏時，此共同泛音會融合在一起，所以聽起來就很和諧，有點饒舌，用下面簡單數學來說明：
假設Do的頻率為f
Sol的頻率則為：f * (3/2)
然後
Do的第三倍音頻率為：3 * f = 3f
Sol的第二倍音為：2 * (3/2)f = 3f
兩者剛好相等
無須太在意這個雞生蛋蛋生雞的饒舌數學，總之，因為泛音相同，所以此二音聽起來就很和諧，這點是製造音階的第二前提，也是調音技巧的根本。
有了八度音跟五度音，古人就開始開始製造音階。一位知名人士：畢達格拉斯，提出了「五度相生」的觀念。是的，就是那位提出畢氏定理的數學家，因為音律跟數學脫不了關係，所以都是些數學家在研究。畢氏學派提出的五度相生觀念在古代中國或其他文明也有出現，但現在多以畢氏為名稱之。五度相生就是由一個基本音往上產生五度，得到一個新的音，再由此音產生一個新的五度音，然後再繼續產生...
Do往上產生五度音，得到：Sol
Sol往上產生五度音，得到：Re
（這裡已經超過原本的八度範圍，在「八度音彼此相等」的前提下我們可將此Re移動回原本的八度範圍內，在Do的隔壁。）
Re往上產生五度音，得到：La
La往上產生五度音，得到：Mi
Mi往上產生五度音，得到：Si
...
...
...
按照這樣的規則長呀長，長了十二次之後，來到了一個很關鍵的點：最後長出來的這個音跟原本的Do聽起來好像呀！如果這個音是Do就太好了，那表示我們得到一個完整的循環，從低音Do長到高音Do，然後裡面包含了十二個很和諧的五度音。然而事與願違，此音雖然像Do，卻比Do高了一些些，高了多少呢？大約比前一個音程高了24%。這個音程的差距被稱為Pythagorean comma，畢氏音差，它會使得與它成對的兩個五度和聲其中之一變得不和諧，高的五度或低的五度只能選一邊配合，而沒能配合的那一邊就變得不和諧了，這個不和諧的五度因為刺耳，所以被古代的音樂家稱為「狼音」，像狼嚎一樣令人不舒服。這種現象在古代中國律學上也有記載，所謂「黃鐘不能還原」。中國古代有以五度相生為原理的三分損益法，黃鐘生林鐘、林鐘生太簇、太簇生南呂...十一次相生之後來到仲呂，它要再次生出一個黃鐘，但這黃鐘卻不能還原為原本的黃鐘。黃鐘不能還原，怎辦呢？古代中國有人就試著繼續下去，繼續用五度生下去吧，所以有生到60次甚至360次的音律，但那些東西既複雜也沒能解決黃鐘不能還原的問題，所以並沒普及。其實只要學過數學，就會知道這是永遠無解的。剛剛說過，八度音與基本音的頻率比例是2，五度音與基本音的比例是3/2，所以要得到完美循環的數學式如下：
2^x = (3/2)^y <- 意思是說，第x個八度音的頻率剛好等於第y個五度音的頻率
變換之後可寫成
2^x' = 3^y'
現在可以看得很清楚了，這個式子有成立的一天嗎？沒有。2的冪次方都是偶數，3的冪次方都是奇數，無論x,y是多少，它們都不會有相等的一天。
我們可以這麼想像，理想的循環如同一個時鐘般的圓圈，從十二點鐘出發，經過一點、兩點、三點、四點...等等十二個間隔，最後應該走回十二點，結果事與願違，高了一點點，再走一圈又高了一點點，走著走著變成一個彈簧狀的路徑了，根本不會有變成圓圈的一天。那怎麼辦？只好把彈簧壓扁，用人為的方法把那多出來的狼音消除。如何消除？從古至今五花八門，最後演進到現代的十二平均律。十二平均律的邏輯非常簡單：多出來的狼音分成十二等分，平均分給八度中的十二個音（或者說十二個五度）就是了。但是這件事從理論到應用在鍵盤上卻花了數百年，其中一大理由是計算高冪次的困難。有現代數學知識的我們，很容易理解要把一個八度平均分配給十二個音程的計算方式。要怎麼做呢？我們只要知道一個八度的頻率比例是2，然後知道目的是要把這個2分成等比上昇的十二階數列，就可以知道，把2開十二次方即可得到音與音之間的固定比值，這個神奇的數字是：
2^(1/12) = 1.059463094...
有計算機的我們，算這個當然簡單，但是對古人來說就困難了，最早提出近似這個數字的人是中國明朝的一個貴族叫朱載堉，他是利用開平方再開平方再開立方的方式計算出這個數字。在那個年代，能夠先理解音階的變化是比例級數，然後運用有限的運算工具去算出這個數字，真的是很厲害哪！想像用算盤算這些有多困難，今日的我們若沒有計算機，大概連開平方都不見得辦得到。
在十二平均律中，每個五度音程都比真正的和諧五度（稱純五度）窄 2%，每個三度音程都比純三度寬 14%。五度也不純，三度也不純，聽起來不太理想，不過它的好處是不管哪一個調性，其不純的程度都一樣多，所以可以自由轉調，昇KEY降KEY都沒問題。但是這種無論那個音程都一樣不純的特性，聽久了免不了讓人覺得一成不變，可以說平均律的時代是一個黑白的時代，沒有色彩，雖然它是植基於過往律學環境的一種無可厚非的演進，然音律的世界絕不僅僅如此，有更多優缺點不同於平均律的音階存在於世上，在學習音律的過程中，我經驗到這些與平均律不同的聽感，其中的美細緻精妙，我認為它們在今日值得更多的重視與欣賞。
由基本物理常識可知，「聲音」是物體震動擾動空氣所形成規律的波。當此波頻率高，我們就覺得此聲音很高，頻率低則反之。發出各種音高不同的聲音是動物的天性，想像一下，古人就在咿咿呀呀的發聲中，發現有某些成對的聲音聽來特別和諧。
第一個發現的是：八度音。
實際上古人沒有「幾度」的觀念，那是後來才產生的想法。不過為了方便，就先這麼措辭吧。八度的感覺大家都懂，例如一個低音Do跟一個高音Do，兩者一起彈奏時，會融合在一起不分彼此，為什麼呢？用弦的震動來理解較為容易，當一條弦震動發出Do的音，它實際上發出了不只一種頻率，而是許許多多不同的頻率綜合在一起，第一個頻率就是整條弦震動的頻率，此為基音，就是最明顯的音高。接下來，弦的一半長度也會震動，就像是把這條弦中間固定住，形成兩段分開震動的短弦，此稱泛音。頻率與弦長成反比，所以這個一半弦長的泛音頻率是基音的兩倍，且是所有泛音中最強的一個。在這個例子中，它正是高八度Do。所以把高低兩個不同的Do同時彈奏，兩者不分彼此是很自然的，因為低音Do的頻率中已經包含了高音Do。八度音聽起來和諧無比，根本就是同一個音，所以古人就把它當作是一樣的，這點很重要，是產生音階的大前提。
第二個發現的是：五度音。
剛剛提到了基音與泛音，一個音是由基音與無限多的泛音組成，最明顯的泛音是一半弦長的八度音，那次明顯的呢？就是五度音。相當於把一條弦的三分之一處固定，會產生兩個音，一個是二分之三頻率的五度（弦長為三分之二），另一個是三倍頻率的更高五度音（弦長為三分之一）。在原先的例子中，它是Sol。五度聽起來也很和諧，除了Do本身就包含Sol的頻率，還因為Do跟Sol有一個共同的泛音，而且是很低倍數（意即強度很強）的泛音，當這兩個音一起彈奏時，此共同泛音會融合在一起，所以聽起來就很和諧，有點饒舌，用下面簡單數學來說明：
假設Do的頻率為f
Sol的頻率則為：f * (3/2)
然後
Do的第三倍音頻率為：3 * f = 3f
Sol的第二倍音為：2 * (3/2)f = 3f
兩者剛好相等
無須太在意這個雞生蛋蛋生雞的饒舌數學，總之，因為泛音相同，所以此二音聽起來就很和諧，這點是製造音階的第二前提，也是調音技巧的根本。
有了八度音跟五度音，古人就開始開始製造音階。一位知名人士：畢達格拉斯，提出了「五度相生」的觀念。是的，就是那位提出畢氏定理的數學家，因為音律跟數學脫不了關係，所以都是些數學家在研究。畢氏學派提出的五度相生觀念在古代中國或其他文明也有出現，但現在多以畢氏為名稱之。五度相生就是由一個基本音往上產生五度，得到一個新的音，再由此音產生一個新的五度音，然後再繼續產生...
Do往上產生五度音，得到：Sol
Sol往上產生五度音，得到：Re
（這裡已經超過原本的八度範圍，在「八度音彼此相等」的前提下我們可將此Re移動回原本的八度範圍內，在Do的隔壁。）
Re往上產生五度音，得到：La
La往上產生五度音，得到：Mi
Mi往上產生五度音，得到：Si
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按照這樣的規則長呀長，長了十二次之後，來到了一個很關鍵的點：最後長出來的這個音跟原本的Do聽起來好像呀！如果這個音是Do就太好了，那表示我們得到一個完整的循環，從低音Do長到高音Do，然後裡面包含了十二個很和諧的五度音。然而事與願違，此音雖然像Do，卻比Do高了一些些，高了多少呢？大約比前一個音程高了24%。這個音程的差距被稱為Pythagorean comma，畢氏音差，它會使得與它成對的兩個五度和聲其中之一變得不和諧，高的五度或低的五度只能選一邊配合，而沒能配合的那一邊就變得不和諧了，這個不和諧的五度因為刺耳，所以被古代的音樂家稱為「狼音」，像狼嚎一樣令人不舒服。這種現象在古代中國律學上也有記載，所謂「黃鐘不能還原」。中國古代有以五度相生為原理的三分損益法，黃鐘生林鐘、林鐘生太簇、太簇生南呂...十一次相生之後來到仲呂，它要再次生出一個黃鐘，但這黃鐘卻不能還原為原本的黃鐘。黃鐘不能還原，怎辦呢？古代中國有人就試著繼續下去，繼續用五度生下去吧，所以有生到60次甚至360次的音律，但那些東西既複雜也沒能解決黃鐘不能還原的問題，所以並沒普及。其實只要學過數學，就會知道這是永遠無解的。剛剛說過，八度音與基本音的頻率比例是2，五度音與基本音的比例是3/2，所以要得到完美循環的數學式如下：
2^x = (3/2)^y <- 意思是說，第x個八度音的頻率剛好等於第y個五度音的頻率
變換之後可寫成
2^x' = 3^y'
現在可以看得很清楚了，這個式子有成立的一天嗎？沒有。2的冪次方都是偶數，3的冪次方都是奇數，無論x,y是多少，它們都不會有相等的一天。
我們可以這麼想像，理想的循環如同一個時鐘般的圓圈，從十二點鐘出發，經過一點、兩點、三點、四點...等等十二個間隔，最後應該走回十二點，結果事與願違，高了一點點，再走一圈又高了一點點，走著走著變成一個彈簧狀的路徑了，根本不會有變成圓圈的一天。那怎麼辦？只好把彈簧壓扁，用人為的方法把那多出來的狼音消除。如何消除？從古至今五花八門，最後演進到現代的十二平均律。十二平均律的邏輯非常簡單：多出來的狼音分成十二等分，平均分給八度中的十二個音（或者說十二個五度）就是了。但是這件事從理論到應用在鍵盤上卻花了數百年，其中一大理由是計算高冪次的困難。有現代數學知識的我們，很容易理解要把一個八度平均分配給十二個音程的計算方式。要怎麼做呢？我們只要知道一個八度的頻率比例是2，然後知道目的是要把這個2分成等比上昇的十二階數列，就可以知道，把2開十二次方即可得到音與音之間的固定比值，這個神奇的數字是：
2^(1/12) = 1.059463094...
有計算機的我們，算這個當然簡單，但是對古人來說就困難了，最早提出近似這個數字的人是中國明朝的一個貴族叫朱載堉，他是利用開平方再開平方再開立方的方式計算出這個數字。在那個年代，能夠先理解音階的變化是比例級數，然後運用有限的運算工具去算出這個數字，真的是很厲害哪！想像用算盤算這些有多困難，今日的我們若沒有計算機，大概連開平方都不見得辦得到。
在十二平均律中，每個五度音程都比真正的和諧五度（稱純五度）窄 2%，每個三度音程都比純三度寬 14%。五度也不純，三度也不純，聽起來不太理想，不過它的好處是不管哪一個調性，其不純的程度都一樣多，所以可以自由轉調，昇KEY降KEY都沒問題。但是這種無論那個音程都一樣不純的特性，聽久了免不了讓人覺得一成不變，可以說平均律的時代是一個黑白的時代，沒有色彩，雖然它是植基於過往律學環境的一種無可厚非的演進，然音律的世界絕不僅僅如此，有更多優缺點不同於平均律的音階存在於世上，在學習音律的過程中，我經驗到這些與平均律不同的聽感，其中的美細緻精妙，我認為它們在今日值得更多的重視與欣賞。