音律的基礎
在描述音程關係的時候,我們會使用一些數字諸如:三度、五度、八度。這些音樂課中常見的數字其實蘊含著深刻的道理,但音樂課上幾乎不曾提過,一方面是音樂課的重點不在此,能讀會演奏才是目的;一方面則是那背後的道理說來免不了嚴肅的長篇大論,短暫的音樂課還是留給唱歌彈琴有趣一些。但若是要真正理解調音工作到底是什麼,就必須對此稍有理解,且聽我說明音階的發展與其困境,您就能理解那些詞彙背後的意義。
由基本物理常識可知,「聲音」是物體震動擾動空氣所形成規律的波。當此波頻率高,我們就覺得此聲音很高,頻率低則反之。發出各種音高不同的聲音是動物的天性,想像一下,古人就在咿咿呀呀的發聲中,發現有某些成對的聲音聽來特別和諧。
第一個發現的是:八度音。
實際上古人沒有「幾度」的觀念,那是後來才產生的想法。不過為了方便,就先這麼措辭吧。八度的感覺大家都懂,例如一個低音Do跟一個高音Do,兩者一起彈奏時,會融合在一起不分彼此,為什麼呢?用弦的震動來理解較為容易,當一條弦震動發出Do的音,它實際上發出了不只一種頻率,而是許許多多不同的頻率綜合在一起,第一個頻率就是整條弦震動的頻率,此為基音,就是最明顯的音高。接下來,弦的一半長度也會震動,就像是把這條弦中間固定住,形成兩段分開震動的短弦,此稱泛音。頻率與弦長成反比,所以這個一半弦長的泛音頻率是基音的兩倍,且是所有泛音中最強的一個。在這個例子中,它正是高八度Do。所以把高低兩個不同的Do同時彈奏,兩者不分彼此是很自然的,因為低音Do的頻率中已經包含了高音Do。八度音聽起來和諧無比,根本就是同一個音,所以古人就把它當作是一樣的,這點很重要,是產生音階的大前提。
第二個發現的是:五度音。
剛剛提到了基音與泛音,一個音是由基音與無限多的泛音組成,最明顯的泛音是一半弦長的八度音,那次明顯的呢?就是五度音。相當於把一條弦的三分之一處固定,會產生兩個音,一個是二分之三頻率的五度(弦長為三分之二),另一個是三倍頻率的更高五度音(弦長為三分之一)。在原先的例子中,它是Sol。五度聽起來也很和諧,除了Do本身就包含Sol的頻率,還因為Do跟Sol有一個共同的泛音,而且是很低倍數(意即強度很強)的泛音,當這兩個音一起彈奏時,此共同泛音會融合在一起,所以聽起來就很和諧,有點饒舌,用下面簡單數學來說明:
假設Do的頻率為f
Sol的頻率則為:f * (3/2)
然後
Do的第三倍音頻率為:3 * f = 3f
Sol的第二倍音為:2 * (3/2)f = 3f
兩者剛好相等
無須太在意這個雞生蛋蛋生雞的饒舌數學,總之,因為泛音相同,所以此二音聽起來就很和諧,這點是製造音階的第二前提,也是調音技巧的根本。
有了八度音跟五度音,古人就開始開始製造音階。一位知名人士:畢達格拉斯,提出了「五度相生」的觀念。是的,就是那位提出畢氏定理的數學家,因為音律跟數學脫不了關係,所以都是些數學家在研究。畢氏學派提出的五度相生觀念在古代中國或其他文明也有出現,但現在多以畢氏為名稱之。五度相生就是由一個基本音往上產生五度,得到一個新的音,再由此音產生一個新的五度音,然後再繼續產生...
Do往上產生五度音,得到:Sol
Sol往上產生五度音,得到:Re
(這裡已經超過原本的八度範圍,在「八度音彼此相等」的前提下我們可將此Re移動回原本的八度範圍內,在Do的隔壁。)
Re往上產生五度音,得到:La
La往上產生五度音,得到:Mi
Mi往上產生五度音,得到:Si
...
...
...
按照這樣的規則長呀長,長了十二次之後,來到了一個很關鍵的點:最後長出來的這個音跟原本的Do聽起來好像呀!如果這個音是Do就太好了,那表示我們得到一個完整的循環,從低音Do長到高音Do,然後裡面包含了十二個很和諧的五度音。然而事與願違,此音雖然像Do,卻比Do高了一些些,高了多少呢?大約比前一個音程高了24%。這個音程的差距被稱為Pythagorean comma,畢氏音差,它會使得與它成對的兩個五度和聲其中之一變得不和諧,高的五度或低的五度只能選一邊配合,而沒能配合的那一邊就變得不和諧了,這個不和諧的五度因為刺耳,所以被古代的音樂家稱為「狼音」,像狼嚎一樣令人不舒服。這種現象在古代中國律學上也有記載,所謂「黃鐘不能還原」。中國古代有以五度相生為原理的三分損益法,黃鐘生林鐘、林鐘生太簇、太簇生南呂...十一次相生之後來到仲呂,它要再次生出一個黃鐘,但這黃鐘卻不能還原為原本的黃鐘。黃鐘不能還原,怎辦呢?古代中國有人就試著繼續下去,繼續用五度生下去吧,所以有生到60次甚至360次的音律,但那些東西既複雜也沒能解決黃鐘不能還原的問題,所以並沒普及。其實只要學過數學,就會知道這是永遠無解的。剛剛說過,八度音與基本音的頻率比例是2,五度音與基本音的比例是3/2,所以要得到完美循環的數學式如下:
2^x = (3/2)^y <- 意思是說,第x個八度音的頻率剛好等於第y個五度音的頻率
變換之後可寫成
2^x' = 3^y'
現在可以看得很清楚了,這個式子有成立的一天嗎?沒有。2的冪次方都是偶數,3的冪次方都是奇數,無論x,y是多少,它們都不會有相等的一天。
我們可以這麼想像,理想的循環如同一個時鐘般的圓圈,從十二點鐘出發,經過一點、兩點、三點、四點...等等十二個間隔,最後應該走回十二點,結果事與願違,高了一點點,再走一圈又高了一點點,走著走著變成一個彈簧狀的路徑了,根本不會有變成圓圈的一天。那怎麼辦?只好把彈簧壓扁,用人為的方法把那多出來的狼音消除。如何消除?從古至今五花八門,最後演進到現代的十二平均律。十二平均律的邏輯非常簡單:多出來的狼音分成十二等分,平均分給八度中的十二個音(或者說十二個五度)就是了。但是這件事從理論到應用在鍵盤上卻花了數百年,其中一大理由是計算高冪次的困難。有現代數學知識的我們,很容易理解要把一個八度平均分配給十二個音程的計算方式。要怎麼做呢?我們只要知道一個八度的頻率比例是2,然後知道目的是要把這個2分成等比上昇的十二階數列,就可以知道,把2開十二次方即可得到音與音之間的固定比值,這個神奇的數字是:
2^(1/12) = 1.059463094...
有計算機的我們,算這個當然簡單,但是對古人來說就困難了,最早提出近似這個數字的人是中國明朝的一個貴族叫朱載堉,他是利用開平方再開平方再開立方的方式計算出這個數字。在那個年代,能夠先理解音階的變化是比例級數,然後運用有限的運算工具去算出這個數字,真的是很厲害哪!想像用算盤算這些有多困難,今日的我們若沒有計算機,大概連開平方都不見得辦得到。
在十二平均律中,每個五度音程都比真正的和諧五度(稱純五度)窄 2%,每個三度音程都比純三度寬 14%。五度也不純,三度也不純,聽起來不太理想,不過它的好處是不管哪一個調性,其不純的程度都一樣多,所以可以自由轉調,昇KEY降KEY都沒問題。但是這種無論那個音程都一樣不純的特性,聽久了免不了讓人覺得一成不變,可以說平均律的時代是一個黑白的時代,沒有色彩,雖然它是植基於過往律學環境的一種無可厚非的演進,然音律的世界絕不僅僅如此,有更多優缺點不同於平均律的音階存在於世上,在學習音律的過程中,我經驗到這些與平均律不同的聽感,其中的美細緻精妙,我認為它們在今日值得更多的重視與欣賞。
由基本物理常識可知,「聲音」是物體震動擾動空氣所形成規律的波。當此波頻率高,我們就覺得此聲音很高,頻率低則反之。發出各種音高不同的聲音是動物的天性,想像一下,古人就在咿咿呀呀的發聲中,發現有某些成對的聲音聽來特別和諧。
第一個發現的是:八度音。
實際上古人沒有「幾度」的觀念,那是後來才產生的想法。不過為了方便,就先這麼措辭吧。八度的感覺大家都懂,例如一個低音Do跟一個高音Do,兩者一起彈奏時,會融合在一起不分彼此,為什麼呢?用弦的震動來理解較為容易,當一條弦震動發出Do的音,它實際上發出了不只一種頻率,而是許許多多不同的頻率綜合在一起,第一個頻率就是整條弦震動的頻率,此為基音,就是最明顯的音高。接下來,弦的一半長度也會震動,就像是把這條弦中間固定住,形成兩段分開震動的短弦,此稱泛音。頻率與弦長成反比,所以這個一半弦長的泛音頻率是基音的兩倍,且是所有泛音中最強的一個。在這個例子中,它正是高八度Do。所以把高低兩個不同的Do同時彈奏,兩者不分彼此是很自然的,因為低音Do的頻率中已經包含了高音Do。八度音聽起來和諧無比,根本就是同一個音,所以古人就把它當作是一樣的,這點很重要,是產生音階的大前提。
第二個發現的是:五度音。
剛剛提到了基音與泛音,一個音是由基音與無限多的泛音組成,最明顯的泛音是一半弦長的八度音,那次明顯的呢?就是五度音。相當於把一條弦的三分之一處固定,會產生兩個音,一個是二分之三頻率的五度(弦長為三分之二),另一個是三倍頻率的更高五度音(弦長為三分之一)。在原先的例子中,它是Sol。五度聽起來也很和諧,除了Do本身就包含Sol的頻率,還因為Do跟Sol有一個共同的泛音,而且是很低倍數(意即強度很強)的泛音,當這兩個音一起彈奏時,此共同泛音會融合在一起,所以聽起來就很和諧,有點饒舌,用下面簡單數學來說明:
假設Do的頻率為f
Sol的頻率則為:f * (3/2)
然後
Do的第三倍音頻率為:3 * f = 3f
Sol的第二倍音為:2 * (3/2)f = 3f
兩者剛好相等
無須太在意這個雞生蛋蛋生雞的饒舌數學,總之,因為泛音相同,所以此二音聽起來就很和諧,這點是製造音階的第二前提,也是調音技巧的根本。
有了八度音跟五度音,古人就開始開始製造音階。一位知名人士:畢達格拉斯,提出了「五度相生」的觀念。是的,就是那位提出畢氏定理的數學家,因為音律跟數學脫不了關係,所以都是些數學家在研究。畢氏學派提出的五度相生觀念在古代中國或其他文明也有出現,但現在多以畢氏為名稱之。五度相生就是由一個基本音往上產生五度,得到一個新的音,再由此音產生一個新的五度音,然後再繼續產生...
Do往上產生五度音,得到:Sol
Sol往上產生五度音,得到:Re
(這裡已經超過原本的八度範圍,在「八度音彼此相等」的前提下我們可將此Re移動回原本的八度範圍內,在Do的隔壁。)
Re往上產生五度音,得到:La
La往上產生五度音,得到:Mi
Mi往上產生五度音,得到:Si
...
...
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按照這樣的規則長呀長,長了十二次之後,來到了一個很關鍵的點:最後長出來的這個音跟原本的Do聽起來好像呀!如果這個音是Do就太好了,那表示我們得到一個完整的循環,從低音Do長到高音Do,然後裡面包含了十二個很和諧的五度音。然而事與願違,此音雖然像Do,卻比Do高了一些些,高了多少呢?大約比前一個音程高了24%。這個音程的差距被稱為Pythagorean comma,畢氏音差,它會使得與它成對的兩個五度和聲其中之一變得不和諧,高的五度或低的五度只能選一邊配合,而沒能配合的那一邊就變得不和諧了,這個不和諧的五度因為刺耳,所以被古代的音樂家稱為「狼音」,像狼嚎一樣令人不舒服。這種現象在古代中國律學上也有記載,所謂「黃鐘不能還原」。中國古代有以五度相生為原理的三分損益法,黃鐘生林鐘、林鐘生太簇、太簇生南呂...十一次相生之後來到仲呂,它要再次生出一個黃鐘,但這黃鐘卻不能還原為原本的黃鐘。黃鐘不能還原,怎辦呢?古代中國有人就試著繼續下去,繼續用五度生下去吧,所以有生到60次甚至360次的音律,但那些東西既複雜也沒能解決黃鐘不能還原的問題,所以並沒普及。其實只要學過數學,就會知道這是永遠無解的。剛剛說過,八度音與基本音的頻率比例是2,五度音與基本音的比例是3/2,所以要得到完美循環的數學式如下:
2^x = (3/2)^y <- 意思是說,第x個八度音的頻率剛好等於第y個五度音的頻率
變換之後可寫成
2^x' = 3^y'
現在可以看得很清楚了,這個式子有成立的一天嗎?沒有。2的冪次方都是偶數,3的冪次方都是奇數,無論x,y是多少,它們都不會有相等的一天。
我們可以這麼想像,理想的循環如同一個時鐘般的圓圈,從十二點鐘出發,經過一點、兩點、三點、四點...等等十二個間隔,最後應該走回十二點,結果事與願違,高了一點點,再走一圈又高了一點點,走著走著變成一個彈簧狀的路徑了,根本不會有變成圓圈的一天。那怎麼辦?只好把彈簧壓扁,用人為的方法把那多出來的狼音消除。如何消除?從古至今五花八門,最後演進到現代的十二平均律。十二平均律的邏輯非常簡單:多出來的狼音分成十二等分,平均分給八度中的十二個音(或者說十二個五度)就是了。但是這件事從理論到應用在鍵盤上卻花了數百年,其中一大理由是計算高冪次的困難。有現代數學知識的我們,很容易理解要把一個八度平均分配給十二個音程的計算方式。要怎麼做呢?我們只要知道一個八度的頻率比例是2,然後知道目的是要把這個2分成等比上昇的十二階數列,就可以知道,把2開十二次方即可得到音與音之間的固定比值,這個神奇的數字是:
2^(1/12) = 1.059463094...
有計算機的我們,算這個當然簡單,但是對古人來說就困難了,最早提出近似這個數字的人是中國明朝的一個貴族叫朱載堉,他是利用開平方再開平方再開立方的方式計算出這個數字。在那個年代,能夠先理解音階的變化是比例級數,然後運用有限的運算工具去算出這個數字,真的是很厲害哪!想像用算盤算這些有多困難,今日的我們若沒有計算機,大概連開平方都不見得辦得到。
在十二平均律中,每個五度音程都比真正的和諧五度(稱純五度)窄 2%,每個三度音程都比純三度寬 14%。五度也不純,三度也不純,聽起來不太理想,不過它的好處是不管哪一個調性,其不純的程度都一樣多,所以可以自由轉調,昇KEY降KEY都沒問題。但是這種無論那個音程都一樣不純的特性,聽久了免不了讓人覺得一成不變,可以說平均律的時代是一個黑白的時代,沒有色彩,雖然它是植基於過往律學環境的一種無可厚非的演進,然音律的世界絕不僅僅如此,有更多優缺點不同於平均律的音階存在於世上,在學習音律的過程中,我經驗到這些與平均律不同的聽感,其中的美細緻精妙,我認為它們在今日值得更多的重視與欣賞。